Tên đề tài luận án: Điều kiện tối ưu trong tối ưu không trơn và các vấn đề liên quan
Ngành: Toán ứng dụng
Mã số ngành: 9460112
Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Xuân Duy Bảo
Khóa đào tạo: 2019 – 2022
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Minh Tùng, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
1. Tóm tắt nội dung luận án:
Kết quả chính của chúng tôi tập trung vào hai nội dung sau: điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị (P) với ràng buộc tổng quát và bài toán tối ưu vectơ (OPm) với ràng buộc hỗn hợp: bất phương trình suy rộng và phương trình suy rộng; phân tích độ nhạy: thiết lập định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị và tính toán đạo hàm của ánh xạ hữu hiệu có nhiễu của bài toán cân bằng vectơ có tham số, đồng thời nghiên cứu ánh xạ nghiệm của phương trình suy rộng có tham số ở dạng tổng quát.
2. Những kết quả mới của luận án
Về điều kiện tối ưu, chúng tôi thiết lập các quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker ở dạng phi cổ điển với độ lệch bù cấp cao bằng giả thiết dưới chính quy metric kiểu Holder. Để đạt được điều đó, chúng tôi đề xuất và áp dụng khái niệm đạo hàm tựa tiếp liên với chỉ số γ∈[0;+∞], đồng thời chọn lựa các hướng tới hạn phù hợp. Nhờ các điều kiện định tính ràng buộc dạng MangasarianFromovitz và Kurcyusz-Robinson-Zowe, nhân tử ứng với ánh xạ mục tiêu của chúng tôi khác 0. Các kết quả trên hoàn toàn mới hoặc cải tiến đáng kể nhiều kết quả gần đây.
Về phân tích độ nhạy, chúng tôi đề xuất khái niệm đạo hàm theo hướng cấp cao theo nghĩa của Hadamard cho ánh xạ đa trị. Một số các phép toán thông dụng như phép hợp, phép giao, phép tích, phép tổng, và phép xích được xây dựng với giả thiết dưới chính quy metric. Sự khả vi Hadamard và công thức tính đạo hàm của ánh xạ giá trị hữu hiệu cũng được thiết lập. Sau đó, chúng tôi dùng các đạo hàm này để xây dựng định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, đồng thời áp dụng vào phân tích độ nhạy cấp cao cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng vectơ có tham số. Độ nhạy cho nghiệm của phương trình suy rộng có tham số cũng được khảo sát chi tiết.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị và bài toán tối ưu vectơ, thiết lập định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, phân tích độ nhạy cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng và phương trình suy rộng có tham số. Các mô hình bài toán được xét xuyên suốt luận án này là các mô hình tổng quát. Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả đã có vào trong các lớp bài toán cụ thể hơn như bài toán minimax, bài toán hai mức, bài toán nửa vô hạn, bài toán tối ưu vectơ với các ràng buộc cụ thể, bài toán nửa xác định dương ... .