Tên đề tài luận án: Một số bài toán Cauchy cho phương trình với đạo hàm Caputo và Riemann Liouville
Ngành: Toán giải tích
Mã số ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Hoàng Lực
Khóa đào tạo: 2020
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM
1. Tóm tắt luận án
Kết quả của luận án này được tổng hợp từ 4 bài báo đã được công bố trên các tạp chí: Mathematical Methods in the Applied Sciences, Journal of Fixed Point Theory and Applications, Advances in Continuous and Discrete Models: Theory and Modern Applications (Tên cũ: Advances in Difference Equations). Các kết quả này được chia thành 4 phần chính như sau.
Phần 1: Bài toán phi địa phương cho phương trình Rayleigh-Stokes Xét phương trình Rayleigh-Stokes như sau:
Phần 2: Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến.
Phần 3: Bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tích phân phi địa phương.
Xét bài toán Rayleigh-Stokes như sau:
Phần 4: Bài toán thuận cho phương trình giả Parabolic với đạo hàm Ca puto.
2. Những kết quả mới của luận án
Nội dung chính của luận án này được tổng hợp từ các công trình đã được đăng trên các tạp chí uy tín trên thế giới, có nhiều kết quả mới hơn những kết quả trước đó. Trong luận án này, các kết quả mới của chúng tôi có thể liệt kê như sau.
Với phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến cùng các điều kiện phi địa phương, chúng tôi chỉ ra tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhẹ của bài toán được trong một số không gian. Bên cạnh đó, chúng tôi nghiên cứu thêm sự hội tụ của nghiệm nhẹ khi các tham số tiến về không.
Phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến được chúng tôi nghiên cứu trong hai trường hợp: hàm nguồn Lipschitz toàn cục và hàm nguồn Lipschitz địa phương. Chúng tôi thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán. Hơn nữa, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại toàn cục nghiệm nhẹ và tính bùng nổ của của nó.
Sự tồn tại và duy nhất cho nghiệm nhẹ của bài toán cho phương trình Rayleigh-Stokes với điều kiện tích phân phi địa phương đã được chúng tôi nghiên cứu. Tính không chỉnh cho nghiệm nhẹ của bài toán giá trị ban đầu cũng được nghiên cứu trong phần này, chúng tôi cũng đã đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này.
Với phương trình giả parabolic với đạo hàm Caputo. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm nhẹ của bài toán đã được chúng tôi nghiên cứu. Trường hợp bài toán phi tuyến, chúng tôi khảo sát tính chất nghiệm toàn cục với dữ liệu đầu u_0∈L^2. Trong trường hợp dữ liệu đầu u_0∈L^q,q≠2, chúng tôi khảo sát kết quả tồn tại địa phương.
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau
Hướng 1: Khảo sát sự tồn tại, tính chính qui, sự tồn tại nghiệm cổ điển, tính tắt dần, tính phân rã, tính bùng nổ... của nghiệm cho các bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với các đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian..
Hướng 2: Nghiên cứu phương pháp số cho các bài toán với đạo hàm cấp không nguyên.
Hướng 3: Nghiên cứu các các phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên với các đạo hàm không nguyên kết hợp với các chủ đề trên.