Tên đề tài luận án: Về tập iđêan nguyên tố liên kết và môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04
Họ tên nghiên cứu sinh: Nguyễn Thành Nam
Khóa đào tạo: Năm 2014-2017
Người hướng dẫn khoa học: 
Hướng dẫn chính: PGS. TS. Trần Tuấn Nam
Hướng dẫn phụ: TS. Nguyễn Viết Đông
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- ĐHQG.HCM 
1. Tóm tắt luận án 
Mục đích của luận án là nghiên cứu một số tính chất của các môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan và môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan. Trong đó, chúng tôi nghiên cứu về tính minimax, (I,M)-cominimax và tính Artin của các đối đồng điều địa phương suy rộng  theo một cặp iđêan (I,J). Chúng tôi cũng mở rộng nghiên cứu về các môđun suy rộng cực đại. Một số kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các đối đồng điều địa phương như giả thuyết của Grothendieck và những vấn đề được đặt ra của Huneke sẽ được trình bày. Luận án giới thiệu nội dung về môđun (I,J)-coweakly Laskerian và nghiên cứu các tính chất của chúng liên quan đến các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan. Ngoài ra, chúng tôi cũng nghiên cứu một số tính chất của các môđun đối đồng điều địa phương và những mối liên hệ giữa tính Artin yếu của các môđun   
2. Những kết quả mới của luận án 
i) Cho M là R-môđun và n là số nguyên không âm sao cho  là (I,J)-đối Lasker yếu với mọi i < n. Nếu  là J-Lasker yếu thì   là J -Lasker yếu. Giả sử   và   là J -Lasker yếu thì  là J -Lasker yếu nếu và chỉ nếu   là J -Lasker yếu.
ii) Nếu  là R-môđun J -Lasker yếu với mọi   và n là số nguyên không âm sao cho  là (I,J)-đối Lasker yếu với mọi   thì  là (I,J)-đối Lasker yếu. Nếu  là (I,J)-đối Lasker yếu với mọi i < n và  là J-Lasker yếu thì   là J -Lasker yếu.
iii) Nếu   là vành địa phương và t là số nguyên không âm sao cho   với mọi   thì   Khi đó   là Artin với mọi  nếu M là hữu hạn sinh và  
iv) Ta có điều kiện tương đương về tính Artin của  và   khi   Điều này cũng được trình bày tương tự đối với môđun đối đồng điều có đỉnh lớn nhất   khi M  là Lasker yếu. Khi đó   là hữu hạn.
v) Chúng tôi chứng minh rằng   là Artin yếu nếu M là Lasker yếu với   Hơn nữa, nếu   là vành địa phương thì   là Artin hoặc   là hữu hạn. Một sự liên hệ giữa tính Artin yếu của  và  cũng được chúng tôi trình bày.
vi) Nếu N là R-môđun minimax thì  là R-môđun Artin, với  và   Từ đây ta có   với điều kiện   Trong trường hợp   là vành địa phương và N là R-môđun minimax, chúng tôi chứng minh rằng   là Artin. 
vii) Trong trường hợp   là vành địa phương,   là Artin với mọi   nếu và chỉ nếu    là Artin với mọi  
viii) Nếu cho M là R-môđun hữu hạn sinh, N là R-môđun tùy ý và t là số nguyên không âm sao cho    là minimax với mọi  thì   là minimax với mọi   Nếu   là minimax với mọi   thì   là minimax. Nếu N là minimax thì   cũng là minimax.
ix) Chúng tôi cũng chứng minh rằng   là minimax và   là (I,M)-cominimax với mọi   và   là minimax.
x) Nếu t là số nguyên không âm sao cho   và   là Lasker yếu với mọi   và k = 0 hoặc k = 1 thì   là Lasker yếu.
xi) Một kết quả khác mà ta có được là  và   là hữu hạn. Hơn nữa, tập   cũng là hữu hạn. 
xii) Nếu cho M là R-môđun hữu hạn sinh, N là R-môđun tùy ý và t là số nguyên không âm sao cho   là hữu hạn với mọi  thì   là hữu hạn với mọi   Nếu N là Lasker yếu thì   là hữu hạn. Hơn nữa,   là hữu hạn. 
xiii)   là vành địa phương, M, N là hữu hạn sinh và   thì   thỏa mãn:  
3. Các ứng dụng/ khả năng ứng dụng trong thực tiễn hay những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Luận án đã đưa ra những kết quả mới về tập iđêan nguyên tố liên kết, gắn kết và các mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng theo một cặp iđêan. Những kết quả này là sự bổ sung cần thiết và mở rộng những kết quả đã có của các nhà toán học nổi tiếng như Rotman, Brodmann, Sharp, Takahashi, Saremi, T.T.Nam và N.M.Tri,… Chúng có thể được ứng dụng trong lý lý thuyết đối đồng điều địa phương. Trong tương lai, chúng tôi sẽ nghiên cứu thêm một số tính chất liên quan đến      như tính minimax, cominimax và các iđêan nguyên tố liên kết, gắn kết của chúng.